Matematika»Analisiak

Analisiak

Zenbaki segidak

Askotan erabiltzen dira, eguneroko bizitzan, zenbaki segidak : dendari batek eguneko irabazien zerrenda egiten duenean, autopistako bidesarien ordain lekutik orduro zenbat auto igarotzen den zenbatzen, eta abar. Matematikan ere askotan erabiltzen dira zenbaki segidak: zenbaki bakoitien segidak, zenbaki lehenenak, zenbaki naturalen koadroenak... Baina matematikan ez ezik zientzien beste alor batzuetan ere, asko erabiltzen dira, hala nola biologian -ameba haztegi batean, hango ameba kopurua ordurik ordu nola aldatzen den zenbatzean-, giza geografian -herrialde bateko urteko biztanle gehikuntza zenbatzean- edo ekonomia geografian -herrialde bateko azken hamarraldiko labore ekoizpena zenbatzean-.

Definiziorako sarrera

Aurreko adibideetatik atera daitekeen bezala, zenbaki katea ordenatuak besterik ez dira segidak : {2, 4, 6, 8, 10,... }, adibidez, zenbaki bikoitien segida da ; {1, 4, 9, 16, 25,...}, berriz, zenbaki naturalen koadroena. Beste segida batzuk, ordea, hala nola {2, 3, 5, 8, 12, 17, 23,...} eta, zerenak diren zehaztea ez da batere erraza. Are gehiago, b irulan gogorra egin beharko da horien jarraipena asmatzeko, eta inoiz, azkenekoan, adibidez, ez da asmatzerik izango.Segida osatzen duten elementuei gai esaten zaie. Segidaren hurrenkeran gaiak zer tokia duen adierazten duen letra azpi-indizedun batez izendatzen dira,edo laburburen bidez, bestela:edo , besterik gabe,

Definizioa

Zenbaki natural bakoitzari zenbaki erreal bat egokitzen dion aplikazioa da zenbaki errealen segida, hau da :n-ren irudia adierazteko, aplikazioen ohiko notazioa erabili ordez, azpi-indizeen notazioa erabiltzen da, goraxeago aipatu den bezala.Segida baten hurrenkera argituko bada, hura osatzen duten gaiak ateratzeko bete beharreko araua aurkitu behar da. Nolako segida halako araua :• Adibideaka) {-1, 3, 7, 11, 15,...} segidan, adibidez, gai bakoitza aurrekoari 4 batuz lortzen da. Hori honela adierazten da :b) {1, 4, 9, 16, 25,...} segidan, berriz, gai bakoitza hurrenkeran duen lekuaren koadroa da. Hau da:c) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...} zenbaki lehenen segida da.

Segida horretan ez dago biderik, zenbaki lehen bat hurrenkeran duen lekuaren edo aurrean duen gaiaren arabera lortzeko.d) 11, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...1 edo Fibonacciren segida deituan gai bakoitza aurreko bien batura da. Beraz,etaf)segidan honela adieraz daiteke n-garrenterminoa :Aurreko adibideetako batzuetan, b) edo f) adibideetan, esate baterako, duen kokalekuaren araberako formula baten bidez lortzen da n- garren terminoa; segidaren gai orokorra esaten zaio formulari eta aukera ematen du segidako edozein gai, aurrekoak ez ezagututa ere, zuzenean kalkulatu ahal izateko. Beste adibide batzuetan, berriz, a), d) eta e) adibideetan, esaterako, n-garren gaia aurreko gai(eta)tik ateratzen da ; errekurrentzia esaten zaio gaiak lortzeko bide horri. Segida baten hurrenkera bide hori erabiliz zehaztu nahi bada, n-garrenaren aurrekoa ez ezik segidako lehenengo (edo lehenengo bi) gaia(k) ere ezagutu behar d(ir)a. Metodo horrek, baina, badu eragozpen bat, segidan aurrera den gai bat ezagutzeko haren aurreko guztiak kalkulatu behar izatea aurretik. Azkenik, beste kasu batzuetan, a) edo d) adibideetan, esate baterako, errekurrentzia legea ez ezik gai orokorra ere kalkula daiteke. Kalkulu hori ordea, oso erraza den bezala lehenengo kasurako, Fibonacciren segidaren kasurako, berriz, zaila da; orain ez baino aurrerago aztertuko da kasu hori polikiago.

- Ariketak

1. Gehitu Ona gai segida hauetako bakoitzari :2. Aurkitu gai orokor hauei dagozkien segiden lehenengo 5 gaiak :3. Kalkulatu errekurrentzia lege hauei dagozkien segiden lehenengo 6 gaiak:4. Asmatu errekurrentzia lege bat eta adierazi lege horri legozkiokeen segidaren lehenengo 6 gaiak.5. Aurkitu segida hauen gai orokorra :6. Aurkitu segida hauen errekurrentzia legea :

Fibonacciren segida

Leonardo Pisano (1180-1250?), Fibonacci ere deitua -Bonacciren seme, alegia-, Pisan sortu zen, merkatari familia batean. Gaztetan arabiar herrialdeetan ibili zen eta hango matematika ezagutzeko aukera izan zuen.

1202an Liber abaci idatzi zuen, garrantzi handiko liburua, besteak beste arabiar edo indiar zifren erabilera zabaldu zuelako Europako Mendebalean.

Leonardo Pisanok problema asko planteatu zituen, eta gaur egun problema horietako batengatik da batez ere ezaguna :"Gizon batek untxi bikote bat jarri du hesiz inguraturiko leku batean.

Zenbat untxi bikote izango dira urte baten buruan, baldin eta, hilabetero, bikote bakoitzarengandik beste bat sortzen bada eta bikote berria ere bigarren hilabetez gero umeak egiten hasten bada?"Hasieran bikote bat egongo da, eta nola bikoteak bi hilabete behar dituen umeak egiten hasi baino lehen, bat bakarrik egongo da lehenengo eta bigarren hilabeteetan. Hirugarrenerako ordea bikote bat sortuko da ; hilabete horretan, beraz, 2 bikote izango dira. Laugarrenean berriro umetuko da : hiru bikote, beraz. Gainera, aurrena sorturiko ume bikotea ere umeak egiten hasiko da, eta, hala, bosgarren hilabeterako 5 bikote izango dira, bi berri eta lehengo hirurak. Hurrengo hilabetean bi hilabete lehenago bazirenak umetuko dira eta, beraz, zortzi untxi bikote izango dira guztira.

Hala, handik hara eta hilez hil, bi hilabete lehenago zegoen untxi bikote adina ume bikote berri gehituko zaizkie lehendik ziren bikoteei.

Bikote kopurua, beraz, segida errepikari bat izango da, non... :Joan den mendeko matematikariek arretaz aztertu zuten segida hori, oso ezaugarri bereziak zituela konturatu baitziren.Hauek dira segidaren lehenengo hogeitabost gaiak :Zenbait ezaugarri berezi :- Ondoz ondoko bi gai lehenak dira elkarrekin.- 4ren anizkoitz diren lekuetan dauden gaiak hiruz zati daitezke, 5en anizkoitz diren lekuetan daudenak bostez, 8ren anizkoitz diren lekuetan daudenak zazpiz.Hirugarren, bosgarren, zazpigarren, hamaika eta hamairugarren lekuetan diren gaiak zenbaki lehenak direla eta, n zenbaki lehena baldin bada a erelehena dela pentsa daiteke. Ez da hala, ordea :Fibonacciren segidaren gaien artean oso harreman bitxiak sortzen dira.

Esate baterako :-- zati daiteke baldin m a-z zati badaiteke.--Segida gero eta handiagoa da, baina froga daitekeenez :Hau da, Gai orokorra formula baten bidez lor daiteke, baina ez da oso baliagarria bide hori, zer adierazpena duen kontuan harturik:Noneta

Progresio aritmetikoak

Definizioa

Gai bakoitza aurrekoari kopuru bera gehituz lortzen den zenbaki segida da progresio aritmetikoa. Kopuru horri diferentzia esaten zaio.Aztertu arretaz segida hauek :Progresio aritmetikoak dira guztiak. Lehenengoan gai bakoitza aurrekoari 5 batuz lortu da. Beraz,

Nola jakin segida bat progresio aritmetikoa den?

Segidako gai bakoitzaren eta aurrekoaren arteko kendurak konstantea izan behar du ; konstante hori bera da hain zuzen progresioaren diferentzia.Hau da :

Progresio aritmetikoaren gai orokorra

Ikusi nola lortzen diren segida bateko gaiak lehenengo gaiaren eta diferentziaren bidez :Beraz, segidako gai bat lortzeko, lehenengo gaiari, haren eta aurkitu nahi denaren artean dagoen leku diferentzia adinbat aldiz batu behar zaio d. Orobat lor daiteke beste edozeinetatik abiatuz :• AdibideakAurkitu segida hauen gai orokorrak :Soluzioak; ordezkatu, eta : 21 = -7 + 4d ; 28 = 4d; d = 7.

Gai orokorra, beraz, hau da : an = -7 + 7(n-4) = -7 + 7n-28 = 7n - 35a eta b zenbakien artean n erdikari diferentzial interpolatzea da lehenengo gaia a duen eta b, berriz,gaia den progresio aritmetikoa eratzea.• AdibideaEman dezagun 10 gai interpolatu nahi ditugula 504 eta 691 artean. Goiko definizioaren arabera,izango da, eta

- Ariketa

7. Interpolatu 15 gai -3 eta 109 artean.

Progresio aritmetiko bateko n aien arteko batura

Mutur banatatik distantzia berera diren gaien baturak betetzen duen ezaugarri bat erabiliko da n gaien baturaren formula lortzeko.

Hurrengo segidan ikus daiteke nola :{1 7, 13, 9, 5, 1, -3, -7, -11,...1 segidan froga daiteke ezen 17 + (-11) =13+(-7)=9+(-3)=5+1=6dela.Alegia :,nonsegidaren erdiko gaia baita (segidako gai kopurua bakoitia denean bakarrik izaten da).Ezaugarri hori erabiliko da, beraz, n gaien baturaren formula ateratzeko :Ordena aldatu, eta :Berdintza biak gaiz gai batu, eta :Baina frogatu berri denez, batugai horiek beti diraHortaz,Eta, beraz :• AdibideakAurkitu lehenengo n zenbaki naturalen baturaSoluzioa :

- Ariketak

8. Kalkulatu lehenengo n zenbaki bakoitien batura.

Harrituta zaude emaitzagatik?9. Progresio aritmetiko bateaneta d = 2 direla kontuan harturik, kalkulatu al eta lehenengo 15 gaien batura.10. Kalkulatu zenbat diren hiru zifra esangarriz osaturiko Tren anizkoitzak. Kalkulatu zifra horien batura.inserted textetadirela kontuan harturik, kalkulatueta

Progresio geometrikoak

Definizioa

Gai bakoitza aurrekoari kopuru bera biderkatuz lortzen den zenbaki segida da progresio aritmetikoa. Kopuru horri arrazoi esaten zaio.• Adibideaka) {1, 3, 9, 27, 8 1,...} progresio geometrikoan arrazoia 3 da.b) {2, 2'2, 2'42, 2'662, 2'9282,...} progresio geometrikoan arrazoia 1'1 da.c)progresio geometrikoan arrazoia da

Nola jakin segida bat progresio geometrikoa den?

Segidako gai bakoitzaren eta horren aurrekoaren arteko zatidurak konstantea izan behar du ; konstante hori da hain zuzen progresioaren arrazoia. Hau da :c) adibidean

- Ariketak

14. Aurkitu zenbaki segida hauek progresio geometrikoak diren edo ez. Hala baldin badira, aurkitu progresioaren arrazoia ere :

Gai orokorra nola kalkulatu

Gai batetik hurrengora igarotzeko delako gaia eta arrazoia biderkatu behar direla kontuan harturik, berdintza hauek lortuko dira :Hau da, segidako lehenengo gaia jakinik beste edozein gai jakiteko, lehenegoari arrazoia ber bien arteko leku diferentzia (n-1) biderkatu behar zaio.Orobat lor daiteke n-garren gaia beste edozein gaitik (a k ), abiatuz.

Horretarako aski da gai hori arrazoia ber bien arteko leku diferentziaz (n-k) bideraktzea. Honela adierazten da hori :• Adibideaka) Kalkulatu {3, 9, 27,...} progresioaren zazpigarren gaia.(Soluzioa :b) Progresio geometriko batean zortzigarren gaia 1.280 baldin bada, eta arrazoia 2, kalkulatu segidaren lehenengo gaia.(Soluzioa :berazc) Progresio geometrikoa bateanbaldin bada, etakalkulatu arrazoia.(Soluzioa :zenbakiaren zortzigarren erroa da, alegia r = ±5)

- Ariketak

15. Kalkulatu progresio honen 10. gaia :16. Progresio geometriko bateaneta

Interpolazio geometrikoa

a eta b zenbakien artean n erdikari geometriko interpolatzea da lehenengo terminoa a duen eta b, berriz, n+2 lekuan duen progresio geometriko bat eratzea.• AdibideaInterpolatu 3 erdikari geometriko 5 eta 20 artean.etaartean.Soluzioar, beraz,-ren laugarren erroa izango da,.Eta bi zenbakien artean interpolatu nahi diren hiru zenbakiak, berriz,etaizango dira baldinbada, eta ,etaberriz, baldin

- Ariketak

17. a) Interpolatu 5 erdikari geometrikoeta

Mutur banatatik distantzia berean diren bi gaien legea

progresio geometrikoan lege hau betetzen da :

Progresio geometriko bateko n gaien biderkaketa

Aurreko legeaz baliatuko gara berdintza hau frogatzeko :Biderkagaien ordena aldatu, eta....Bi berdintzak gaiz gai biderkatu, eta...Mutur banatatik distantzia berean diren gaien biderkaketaren legea dela eta,bezalako n biderkagai daude azken berdintzan. Beraz,Eta hortik, formula hau ateratzen da.• AdibideaProgresio hau emanik,kalkulatu segidarenlehenengo 9 gaien biderkadura.Soluzioa

- Ariketa

18. Kalkulatu progresio hauen lehenengo 7 gaien biderkadura .

Progresio geometriko bateko n gaien batura

Batuketa hau egin behar da :Biderkatu berdintza horretako osagai guztiak r arrazoiaz :Baina r-z biderkatzean, progresioko gai bakoitza hurrena bihurtzen da. Beraz, ordezkatu batuketako gaiak, salbu eta azkena -hori berdin utzi-:Kendu adierazpen honi(1) eta ezabatu berdinak diren gai guztiak:Atera berdintzako lehenengo atalaren biderkatzaile komuna :Bakandu S, eta formula hau ateratzen da :Adierazpen hau aldatueta lehenengo gaiaren eta arrazoiaren arabera adieraz daiteke-ren ordezjarriz:• AdibideaSegida hau emanik,, kalkulatu lehenengo 7 gaien batura.Soluzioa

- Ariketak

19. Kalkulatu progresio hauen lehenengo...a) 6 gaien batura {6, 12, 24,...}b) 7 gaien batura {8'1, 27, 0'9,...} c) 8 gaien baturad) 9 gaien batura20. Kalkulatudituen progresio geometrikoaren lehenengo 8 gaiak.2 1. Kalkulatu a, = 972 eta r = 3 dituen progresio geometrikoaren lehenengo 5 gaien batura.22. Kalkulatu lehenengo 5 gaien batura 1.452 eta r = 3 diruen progresio geometrikoareneta

Progresio geometriko mugagabe baten gaien batura

Dakigunez, progresio geometriko baten n gaien batura honela da :Baldin n mugagabe handitzen bada, lau aldaera izan ditzake batuketaren kalkuluak, r-k zer balio duen.Baldin r>7 bada,-ren balioa mugagabe handitzen da, progresioa gorakorra da eta baturak infiniturantz jotzen du.Baldin r = 1 bada, gai guztiak berdinak dira eta haien baturak,, infiniturantz jotzen du.

Baldinzeren 1 baino zenbaki txikiagoen berredurak txikituz doaz berretzailea handitu ahala, eta zerorantz hurbiltzen dira.

Infinitu gaien batura lortzeko aurreko formula erabiliko da,-ren ordez 0 jarriz :Baldinbada, segida oszilatzailea da, eta batura, indeterminatua.• Adibideaka) Aurkitu progresio geometriko indefinitu honen batura :Soluzioab) Erabili formula hori zenbaki hamartar periodiko honen frakzio edo zatiki sortzailea aurkitzeko : 2'4090909... = 2'4 + 0,0009 + O'00009 + O'0000009...=Bigarren batugaiaz aurrerrako infinitu batugaiek progresio geometrikoa eratzen dute, arrazoia r = 0'01 dutela. Formula batugai horietara aplikatuz gero, hau lortzen da :

- Ariketak

23. Aurkitu progresio mugagabe hauen gaien batura :24. Progresio geometriko beherakor bateko infinitu gaien batura 3 da, eta lehenengo gaia, Kalkulatu arrazoia.25. Elezahar batek dioenez, xake jokoa asmatu zuenak zera eskatu omen zuen ordainetan : gari ale bat taulako lehenengo laukitxoarengatik, bi ale bigarren laukitxoarengatik, lau ale hirugarrenarengatik, eta horrela hurrenez hurren, aurreko laukitxoko ale kopurua bikoiztuz beti, taulako 64. laukira iritsi arte. Kalkulatu zenbat ale pilatu zuen guztira eta zenbat pisatuko zuen, tonatan, guztiak. Eman dezagun ale bakoitzak dezigramo bat (1 dg) pisatzen duela.26. Alde bakoitzak 3 cm dituen lauki baten aldeen erdiko puntuak marra batez zein bere ondokoarekin lotu eta lauki bat eratu da aurrenekoaren barruan. Bigarrenean gauza bera eginez, beste bat lortu da gero, eta beste bat hurrena, eta horrela hurrenez hurren, ezin bukatu ahalean. Kalkulatu lauki guztien areen batura.27. Behinola eskale batek hau proposatu omen zion diruzale zeken bati : nik pezeta bat emango dizut hilaren lehenean, 2 pezeta bigarren egunean, 3 hirugarrenan, eta horrela hurrenez hurren, pezeta bat gehiago egunero, hilak 30 arte. Zuk ordainez 0'001 xentimo eman beharko didazu lehenengo egunean, O'0002 xentimo bigarrenean, O'0004 hirugarrenean eta horrela, aurrekoaren bikoitza egunero, hila bukatuarte. Zekenak pentsatu zuen sekulako negozioa egin behar zuela eta bi aldiz pentsatu gabe onartu zuen trukea . Erabaki zuzena hartu zuen? Kalkulatu zenbat diru ordaindu zuen bakoitzak.28. Aldeak 2 cm-koak dituen triangelu ekilatero bateko aldeen erdiko puntuak marra batez lotu eta beste triangelu ekilatero bat eratu da aurrekoaren barruan.

Bigarren triangeluan gauza bera egin eta beste bat, hirugarrena, eratu da gero, eta horrela eginez segitu da ezin bukatu ahalean. Kalkulatu triangelu horien guztien areen batura.

Interes elkartua - Kapitalizatzea - Kredituaren amortizazioa

Lantzera goazen gai hau finantza eta merkataritza matematikaren alorrari dagokio. Egin behar duguna, funtsean, zera da : segidak aplikatu, interes elkartuko kapitalizazioari buruzko problemetan.

Progresio geometrikoak aztertzean ikasi ditugun formulak oso baliagarri gertatuko zaizkigu horretarako, batez ere kredituen amortizaziorako urteroko finkoak kalkulatzeko.

Interes elkartuko kapitalizatzea

Kapital bat interes elkartuan jartzean kapitalizazio aldi bakoitzaren buruan eskuraturiko interesak kapitalari gehitzen zaizkio interes gehiago eman dezaten.Kapital C bat banku batean uzten da, eta interes elkartuan jartzen, denbora t batez (urtetan adierazia), % hainbateko r korrituarekin.100 pezetek urte baten buruan ematen duten etekina da r (korritua edo ehuneko zenbatekoa). Kalkuluak errazteko, bateko zenbatekoa erabiliko da,; hau da, zenbat ematen duen pezeta batek urte batean.Hortik formula bat ateratzen da, C kapitala hainbat t urteren buruan zenbat bihurtzen den kalkulatzeko.Baldin pezeta lek i pezeta ematen badu urte baten buruan, eta (1 + i) pezeta bihurtzen bada...Lehenengo urtean C pezetekpezeta emango duta, etapezeta bihurtuko dira.Bigarren urtean C (1 + i) pezetekpezeta emango dute, etapezeta bihurtuko dira.Hirugarren urteanpezetekemango dute, eta; pezeta bihurtuko dira.Eta horrela hurrenez hurren, t-garren urtearen bukaeraraino.

Kapitala, orduan, hau izango da :Ikusten denez, hasierako kapitalak eta lehenengo, bigarren, hirugarren, ... t-garren urtearen buruan lortutakoek progresio geometriko bat eratzen dute. Progresioaren arrazoia (1 + i) da, eta horrek esan nahi du kapitala, urtez urte, kopuru horrez biderkatuko dela :Hasierako kapitala 0. urtearen buruan (eta 1. urtearen hasieran) dagoen kapitala da, eta, berriz, t-garren urtearen buruan dagoena.• AdibideaZenbat diru bihurtuko da, 4 urteren buruan, milioi bat pezeta, interes elkartuan (%7) jarria?SoluzioapezetaAzaldu berri denaren arabera, interesak kapitalari gehitzen zaizkio urte bakoitzaren bukaeran. Kapitalizazio aldia urte batekoa dela esan nahi du horrek. Baina ez du zertan urte batekoa izan beti ; izan daiteke hiru hilabetekoa, edo hil batekoa.Eman dezagun hiru hilabetez behin egiten dela kapitalizazioa.

Pezeta batek hiru hilabeteren buruanpezeta emango lituzke, hau da, urte batean ameten duenaren laurden bat. C pezetek, beraz,pezeta emango lituzkete, etabihurtuko lirateke hiru hilabeteren buruan,pezeta sei hilabeteren buruan etapezeta lehenengo urtearen buruan. Prozesu hori muturreraino eremanez, hau da t. urteren buruan metatuko litzatekeen kapital berria :. Arrazoibide bera erabiliz t urteren buruan metatuko zen kapitalaren formula lor daiteke edozein kapitalizio aldirako. Adibidez, hil batekokapitalizorako,da formula, sei hilabeteko kapitalizaziorako C, eta, oro har, m alditan zatitzen bada urtea, hau izango da kapital berria t urteren buruan :• Adibidea500.000 pezeta jartzen badira 10 urtez interes elkartuan, %4ko korrituarekin eta se hilabeteko kapitalizazio aldiekin. Zenbat izango da azkenerako kapitala? Soluzioa Urtean bi aldiz kapitalizatzen denez:Epe finkoan ezarritako kapital bat zenbat bihurtzen den jakiteko ere balio du arrazoibide horrek. Baina badira beste kapitalizazio metodo batzuk ere, hala nola diru kopuru finko bat ezartzea hilero hainbat urtez, ezartzen den diruarekin eta horrek ematen duen korrituarekin kapital bat osatzen joateko. Horretarako dira, adibidez, etxebizitzaren aurrezkirako kontuak.Bedi C osatu nahi den kapitala, a hilero ezarriko den diru kopurua eta t urte kopurua.Hasieran ezarri den diru kopurua, a alegia, handik 12t hiletara, abihurtuko da.Bigarren hilean ezartzen den a dirua, handik 12t-1 hiletara, abihurtuko da.

Hirugarren hilean ezartzen den a dirua, handik 12t-2 hiletara, abihurtuko da.Eta horrela hurrenez hurren, ezartzekoa den azken kopurura iristeraino .12t-garren hilean ezartzen den a dirua, handik hil batera, abihurtuko da.Hilero-hilero ezarri diren diru kopuru guztien baturak C eman behar du.Berdintzaren bigarren atala progresio geometriko bateko 12tgaien batura da, eta progresioaren arrazoia daFormula aplikatu, eta...C jakinda, a kopurua kalkulatu nahi bada, berdintzatik bakandu behar da. Dirua hilero ezarri ordez hiru hilabez behin edota urtean behin ezartzen bada, aski da i-ren izendatzailea eta t berretzailearen biderkatzailea aldatzea edo kentzea.Adibideaka) Zer kapital metatuko du pertsona batek 5 urteren buruan baldin hiru hilabetez behin 150.000 jartzen baditu %4ko korrituan?SoluzioaFormula aplikatu, eta...b) Zenbat diru jarri bahar da hilero %5eko korrituarekin 8 urteren buruan 5 mililoiko kapitala osatzeko?Soluzioa

- Ariketa

30. Pertsona batek 5 milioi pezeta interes elkartuan jarri ditu, urteko %6ko korrituarekin. Zenbat diru jasoko du handik bost urtera?

Zorren amortizazioa

Orain hurrena zorrak nola amortizatu aztertuko da. Gauzak epetan erostean, kredituak itzultzean edota hipotekak ordaintzean, zorrak amortizatzen ari gara. Modu bat baino gehiago dago horretarako . Hona hemen hiru aukera :a) Epe jakin baten buruan zorra aldi batean kitatzea. Alegia, mailegaturiko dirua eta maileguak iraun duen denboran gehituriko interesak, dena batera itzultzea.• AdibideaEman dezagun 2 milioiko mailegua eskatu dugula % 1 Oeko korrituarekin, eta lau urteren buruan itzuli behar dugula.SoluzioaGuztira, hau itzuli beharko dugu:pezeta.Ez da hau asko erabiltzen den bidea, zeren batek ez badauzka 2 milioi gaur, nekez itzuliko ditu ia 3 milioi, 4 urte geroago.b) Mailegaturiko kapitala zati berdinetan zatiturik, epe jakin baten buruan ordaintzen da zati bakoitza (hilabetero, hiru hilabetero, urtero), ordaintzea falta den zatiaren interesekin batera.• Adibidea2 milioiko mailegua, %10eko korritua duela, urte beteko lau alditan ordaindu behar da.SoluzioaUrte bakoitzaren buruan, beraz, 500.000 pezeta ordaindu beharko dira, eta kapital zati horri zor den zatiari dagozkion interesak gehitu beharko zaizkio. Lehenengo urtean bi milioi zorko dira baina epeak ordaindu ahala gutxituz joango da zor den zatia.Ikus hori, argiago, taula honetan :Lau ordainketek, beraz, beherako progresio geometriko bat eratzen dute. Progresioaren diferentzia -50.000 da, -500.000 pezetaren -zorra urtetik urtera gutxitzen den kopuruaren- %lOa.c) Kasu honetan, epe bakoitzaren buruan, kopuru berdina ordaintzen da, halako moduan non hilez hil ordaindu beharreko kopuru berdin horiek amortizazio aldiaren buruan eta interesaren arabera emango luketen kopuruen baturak, batetik, eta mailegaturiko kapitalak epe horretan berean emango lukeenak, bestetik, berdinak izan beharko baitute.• AdibideaPertsona batek 105.000 pezetako hozkailua erosi du, eta bi urtean ordaindu behar du, hilabeteko epetan, %l2ko korrituarekin.

Zenbat ordaindu beharko du hilero?Soluzioa105.000 pezeta, bi urteren buruan, 133.322 pezeta bihurtuko lirateke, zeren...Bedi a hilero ordaindu beharreko kopurua, eta kalkula dezagun zenbat den :1. hilean : hilaren bukaeran ordaindu beharreko a kopuruabihurtuko da 23 hilabete geroago.2. hilean : hilaren bukaeran ordaindu beharreko a kopuruabihurtuko da 22 hilabete geroago.3. hilean : hilaren bukaeran ordaindu beharreko a kopuruabihurtuko da 21 hilabete geroago.Eta horrela hurrenez hurren. Ikus dezagun zer kopuru bihurtuko diren azkeneko biak :23. hilean : hilaren bukaeran ordaindu beharreko a kopuruabihurtuko da hilabete bat geroago.24. hilean : a kopurua kreditua ordaintzeko epea bukatzearekin batera ordaintzen da, eta, beraz, ordaindu beharreko kopurua a bera da.Kopuru horien guztien baturakeman behar du.Berdintzaren lehenego atala progresio geometriko bat da, eta progresioaren arrazoia 1'01 da.Formula aplikatu, eta...

- Ariketak

31. a) Aurkitu zenbat ordaindu beharko duen urtero pertsona batek 40 milioiko mailegua %9 korrituarekin 5 urtebeteko epetan itzultzeko.b) Eta urtebeteko epetan ez baina hilabateko epetan ordaintzen badu?32. Pertsona batek autoa erosi du eta lau urtean hilerohilero 45.000 pezeta jarriz ordaindu behar du. Diruak urteko % 12 balio badu, zenbat balio du autoak?33. Zenbat diru bihurtuko da 5 urteren buruan 2 milioi pezeta, baldin eta urteko interesa % 12koa baldin bada eta kapitalizatzea hiru hilabetez behin egiten bada?34. Zenbateko korrituan jarri behar da 3 milioi pezeta 3.675.130 pezeta bihur dadin hiru urteren buruan interes elkartuan?35. Pertsona batek 15 milioiko hipoteka kreditua eskatu du etxebizitza bat erosteko. Bankuak dirua aurreratu dio %10'Seko korrituarekin eta 12 urteko epean eskuratzeko baldintzaz. Zenbat ordaindu beharko du hilero?36. Zenbateko korrituan jarri beharko da 1.500.000 pezetako kapitala, jarri eta 12 urtera 3.049.191 pezetakoa bihur dadin, baldin eta kapitalizatzea hiru hilabetez behin egiten bada?37. Zenbat denboran eduki behar da milioi bat pezeta %seko korrituarekin 2,5 milioi pezetatik gora bihurtzeko? Oharra : Kalkulagailua erabiliz iritzira kalkulatzea ere onartzen da.38. Kontu batean, urtero, 100.000 pezeta jartzen dira %7ko interes elkartuan. Zenbat diru izango da kontuan bosgarren ordainketa egin ondoren?

Gaiari buruzko zenbait problema

1. Argitu hurrengo progresio hauek progresio aritmetikoak ala progresio geometrikoak diren, eta zenbakitzaileek eta izendatzaileek, zein bere aldetik, progresioa osatzen duten ala ez. Bestalde, bakoitza zer den, kakulatu diferentzia edo arrazoia, eta, guztietan, gai orokorra.2. Kalkulatu, 25 zenbakitik aurrera, 3ren lehenengo 20 anizkoitzen batura.3. Progresio aritmetiko bateaneta

Ariketen soluzioak

1.2.3.4. Soluzio posible asko dago.5.6)7) 4, 11, 18, 25, 32, 39, 4G, 53, 60, G7, 74, 81, 88, 95, 1028). Hala da, bai, zenbaki bakoitiak batu ahala zenbaki naturalen koadroak lortzen dira hurrenez hurren : 1, 4, 9,...9)10)11) Nola, orduan,, eta, beraz, d = 4,12)-en formulan,adierazpen ordezkatu eta d lortzen da : d = 7/2. Eta pentagonoaren aldeen neurriak dira : 3 ; 6,5 ; 10 ; 13,5 ; 17 cm13) Oktogono ganbil baten angeluen batura da : 180 (8 - 2) = 1.080°. Zeren A erpinetik diagonalak marraztuz eratzen diren 6 triangeluetako bakoitzaren angeluen batura 180° baita.formulanadierazpena ordezkatu, etalortzen da:. Beraz, poligonoaren angeluen neurriak dira : 80°, 102°, 124°, 168°, 190° eta 212°.14)a) Bai, progresio geometrikoa da ; r = 1'2.b) Ez, ez da.c) Bai, progresio geometrikoa da eta arrazoia -0'3 da.15)16) Nola, orduan, eta beraz,17) a) Bitezeta, eta r ateratzen da :Hauek dira interpolatu beharreko zenbakiak, beraz :17)eta, eta beraz, r = 3. Hauek dira interpolatu beharreko zenbakiak : 3, 9, 27, 81, 243, 729.19) b)eta-ren formula aplikatu eta bakundu ondoren,lortzen da :19 ) d )20.21.22.-en formulan balio ezagunak ordezkatu, etalortzen da :. Hortik, gero,ateratzen da:24. Sren formulan r bakandu, eta r ateratzen da :25.gari ale xake jokoaren taularen azkene o laukitxoan, 9 trilioi gutxi gorabehera.gari ale guztira, hau da : 18'45 trilioi ale. Eta horren pisua : 18'45 trilioi dezigramo edo -hori zatibilioi tona, gutxi gorabehera.26. Lehenengo laukiakarea du, eta bigarren laukiak aurrekoaren erdia. Argi ikusten da hori marrazkian. Beraz,eta27. Eskaleak zekenari 465 pezeta pagatu beharko dizkio :Zekenak eskaleari ordaindu beharko diona kalkulatzeko, berriz, badakigudela, progresio geometriko baten aurrean gaudela, eta progresioaren arrazoia 2 dela.

Hortik :pezeta.31) a). Baturaren formula erabili bigarren atalaren eragiketa egiteko, eta bakandu a berdintzan : a = 10.283.698 pezeta.3 1) b) Aurekoaren berdina baina honetan hilabeteko korrituada. Hilabeteko epean ordaindu beharrekoa m = 830334 da.32. 2.160.000 pezeta ordaintzen ditu. Baina eskura ordaindurik, interesengatik ordaintzen duena kenduta :zatiberdin 1.708.828 pezeta.34.. Eta hortik i ateratzen da : i = 0,07 ; %7, alegia.35. M = 183.621,136.Beraz, i = 0,06 ; %6, alegia.37. Kalkuladora zein logaritmoak erabiliz, erantzuna da : 19 urte baino gehiago.

Gaiari buruzko problemen soluzioak S -(1 + 30) 30 - 465 2

1. a. Progresio aritmetikoa :1. b. Progresio geometrikoa:1c. Ez da progresio aritmetikoa ez geometrikoa, baina... :- Zenbakitzaileek progresio aritmetikoa dute :- Izendatzaileek progresio aritmetikoa dute :-Beraz, progresioaren gai orokorra da :ld. Progresio geometrikoa da :4. A (1. lauki zuzena) =, A (1. erronboa) =, A (2. lauki zuzena) =, A (2. erronboa) =. Beraz, areek progresio geometrikoa dute :eta5. Formula aplikatu eta :biztanle. Hau da, hazkunde erritmo horri eutsiko baliote, herrialdeak 94 milioi pertsona baino gehiago izango lituzke.6. Azkeneko kapitalak 2C izan beharko du. Beraz,